大数法则(2)极限的定义(Law of large numb


连结:大数法则(1)数大便是美

摘要:在论及「大数法则」之前,必须先有「极限(limit)」的概念,这里给出「极限」的定义,并说明其内涵。

懂点机率统计的人,常开口闭口大数法则。大数法则究竟是什幺?讨论大数法则,无可避免的,会涉及极限。只是极限可不是一简单的概念。但弄懂极限,是进入较高深数学的第一步。本节我们稍微介绍极限。

认给一数列 \(\{a_n,n\geq 1\}\),当 \(n\rightarrow\infty\) 时,\(a_n\) 不见得会趋近至某一定值。例如,\(a_n=(-1)^n, n\geq 1\),则此数列为 \(-1, 1, -1, 1, …\),不论 \(n\) 多大,数列都是 \(1, -1\) 交错着,不会接近任一定植。但若 \(a_n=(1/2)^n, n\geq 1\),则随着 \(n\) 之增大,\(a_n\) 愈来愈小,一直往 \(0\) 接近。

我们以  \(n\rightarrow\infty\)时,\(a_n\rightarrow 0\)  表之,也可写成  \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)

极限是微积分的基础,但极限并不是一简单的概念。想要弄懂极限,当然要找本微积分课本,仔细唸一唸。黄文璋(1999)第九章『极限的概念』,为一讨论极限之通俗性文章。

不过凡是牵涉到无限大,就要谨慎对待。男孩对女孩说『我每天(每一 \(n\) 天)都爱你』,这是否就隐含『海枯石烂,永不变心』呢?倒也未必。海枯石烂表示时间 \(n\) 趋近至 \(\infty\),但 \(n\to\infty\) 时会如何,不能以每个 \(n\) 会如何来推测。举一简单的例子:令 \(a_n=1/n,~n\geq 1\),则对每一 \(n\geq 1,a_n\) 皆为正数。但 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0\) 就非正数了。

中学时代,你应学过数学归纳法。令 \(A_n\) 表一与 \(n\) 有关的命题,\(n\geq 1\)。在有些情况下,可以数学归纳法证明每一命题 \(A_n\) 皆成立。其原理就是先证出 \(A_1\) 成立,然后再证明 \(A_n\) 成立可导致 \(A_{n+1}\) 成立,则每一命题 \(A_n\) 便皆成立了,\(n\geq 1\)。但这只证出每一命题 \(A_n\) 为真,并未导致 \(n\to\infty\) 时命题仍成立。

对于 \(n\to\infty\) 时,\(a_n\rightarrow a\),是说当 \(n\) 不断地增大,\(a_n\) 可任意接近 \(a\)。

但,任意接近\(a\)是什幺意思?
此表 \(a_n\) 与 \(a\) 之差距 \(|a_n-a|\) 可任意小。

而怎样是任意小?由你来定好了。
\(0.01\) 算小吗?还是 \(0.0001\) 才算小?就任给一差距,以 \(\varepsilon\) 表示之,即要求 \(|a_n-a|\) 需小于 \(\varepsilon\)。

但,何时 \(|a_n-a|<\varepsilon\)?
我们可没说:「对每一 \(n\geq 1, |a_n-a|<\varepsilon\) 都要成立」。
而是说:「 \(n\) 要很大很大时, \(|a_n-a|<\varepsilon\) 才需成立」。

但,怎样是很大很大?
如果从某一项 \(n_0\) 开始,\(|a_n-a|<\varepsilon\) 皆成立。你大约便只好服气了。

于是便产生下述极限的定义:

若每一 \(\varepsilon >0\),存在一  \(n_0\ge 1\),使得 \(|a_n-a|<\varepsilon\),
当 \(n\ge n_0\),则称 \(n\to\infty\) 时,\(a_n\to a\),以 \(\lim_{n\to\infty} a_n=a\) 表之。

这个定义并非微积分一开始发展便有的,而是经过一百多年,数学家才想到以此方式来定义极限。要知数学上一个概念,常是经过长期的演变,才能以简洁、严密、一般且抽象地方式呈现。后来的学习者,自然得花一点功夫,才能领悟此概念之内涵。

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